Numeri fracti по-русски
Система древнерусских дробей
Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается. В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
- 1/2 - половина, полтина
- 1/3 – треть
- 1/4 – четь
- 1/6 – полтреть
- 1/8 - полчеть
- 1/12 –полполтреть
- 1/16 - полполчеть
- 1/24 – полполполтреть (малая треть)
- 1/32 – полполполчеть (малая четь)
- 1/5 – пятина
- 1/7 - седьмина
- 1/10 – десятина.
получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
Как же пришли к цифирным дробям?
Леонтий Филиппович Магницкий
Жизнь русских во времена Петра Великого менялась стремительно: мужчины лишались бород, знатные люди переходили на европейское платье, отказываясь от традиционных одежд, появились первые газеты. На севере, у берегов Балтики, началось строительство Санкт-Петербурга.
Нововведения Петра Алексеевича были обширны и коснулись настолько незыблемых реалий русской жизни, как система счисления. 22 февраля 1702 года Магнитскому был заказан учебник по математике. В результате за 9 месяцев он создал уникальную учебную математическую книгу. Книга имела длинное название. «Арифметика» Магнитского оказала большое влияние на всю последующую русскую математическую литературу. Книга содержала общие философские рассуждения, советы читателей, общие выводы, которые усиливали образовательный эффект. Учебник содержал информацию по метеорологии, астрономии и навигации, многие знания естествознания и техники.
Нововведения Петра Алексеевича были обширны и коснулись настолько незыблемых реалий русской жизни, как система счисления. 22 февраля 1702 года Магнитскому был заказан учебник по математике. В результате за 9 месяцев он создал уникальную учебную математическую книгу. Книга имела длинное название. «Арифметика» Магнитского оказала большое влияние на всю последующую русскую математическую литературу. Книга содержала общие философские рассуждения, советы читателей, общие выводы, которые усиливали образовательный эффект. Учебник содержал информацию по метеорологии, астрономии и навигации, многие знания естествознания и техники.
Магнитский определяет арифметику как искусство решения задач со счетом, вычислением. Когда он характеризует числовую систему, Магнитский использует своего рода терминологию, которая оставалась в учебниках математики до конца 18-го века. Все числа первых десяти он назвал пальцами; десятки, сотни — стыками, все остальные числа — композициями. Впервые в русской математической литературе 0 был повышен до числа и ранжирован по пальцам. Книга состоит из двух арифметических книг: Арифметическая политика и Арифметическая логистика. Арифметическая политика состоит из 5 частей. В первой части оцениваются целые числа и 5 действий — вычитание, сложение, умножение, деление, нумерация. Второй раздел содержит дроби. Дано определение дробей: «Пунктирная линия — ничто иное»... Третий раздел содержит тройные правила. Везде и во фракциях обратное тройное правило, «правило тройного контракта», отделяется, где возможно предварительное сокращение пропорциональных членов. Четвертый раздел устанавливает правила для ложных правил. Магнитский рассмотрел три случая правила двух ложных определений (когда обе позиции больше желаемых, когда обе меньше, когда одна больше, а другая меньше). В пятом разделе Магнитский разместил учение о прогрессе и восстановлении квадратных и кубических корней. Арифметическая логистика состоит из двух частей. Благодаря учебнику появились квадратные уравнения, десятичные дроби, достижения в русской научной литературе, а в математическом языке появились термины «множитель», «доходность», «пропорция» и «прогрессия».
Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице рубля, или рубля, или рубля, или две пятые части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число» . Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.
Особенности правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике В древней Руси при выговаривании дробей имелись особенности: числитель назывался верхним числом, а знаменатель – исподним. Половина чего-либо называлось «пол». Одна треть числа — «треть». Одна четверть — «четверть» или «четь». Одна шестая — «пол-трети». Одна восьмая — «пол-четверти» или «пол-чети». Одна двенадцатая — «пол-пол-трети». Одна шестнадцатая — «пол-пол-чети». Одна двадцать четвёртая — «пол-пол-пол-трети». Одна тридцать вторая — «пол-пол-пол-чети» и т. д. Так же можно упомянуть, что дроби со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием "ина" дроби со знаменателем больше 10 - выговаривали со словом "жеребей"). |
Сошная Арифметика
В XVI в. знание практической математики применялось прежде всего для торговых и налоговых операций. Определенные математические формулы использовались церковью для расчета Пасхалий, церковного календаря, хронологического определения праздников и церковных служб.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. И «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Гнеденко Б.В. в «Очерках по истории математики в России» пишет: «На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации». Говоря простыми словами, буквы служили одновременно и числами, при этом сверху буквы ставили знак титло ̃. Порядок букв и цифр не совпадали. Например, вторая буква алфавита «Б» - буки – не имела цифрового обозначения.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. И «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Гнеденко Б.В. в «Очерках по истории математики в России» пишет: «На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации». Говоря простыми словами, буквы служили одновременно и числами, при этом сверху буквы ставили знак титло ̃. Порядок букв и цифр не совпадали. Например, вторая буква алфавита «Б» - буки – не имела цифрового обозначения.
С XVI века в России большой популярностью пользовался дощаной счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Дощаный счёт
Представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.
В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п.
Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но в то же время в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей, и учителя в стихах и прозе старались приободрить своих учеников. Л.Магницкий писал:
Но несть той арифметик,
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
